子どもの頃、円周率について、「どうやって出すのか」考えたことがあります。そうして「３５５÷１１３」だと近い数字が出ると気...|質問・相談が会員登録不要のQ&AサイトSooda!(ソーダ)

既にリンク先が紹介されていますが、自分のような初学者にとって論理的には多少省略されているように感じたので、自分なりに初等数学＋αで考えてみました。

まず、y=arctan(x) (y=tanxの逆関数）を考えます。
これを０の付近でテイラー展開（マクローリン展開)すると、ｎ乗を「＾ｎ」で表すとすると
arctan(ｘ)＝ｘ－x^3／3＋ｘ^5／5－ｘ^7／ｘ・・・・・＝Σ[{(-1)^(n-1)｝*ｘ^(2n-1)]／(2n-1)・・・(0)

ここで、ｘ－x^3／3＋ｘ^5／5－ｘ^7／ｘ・・・・・
＝ｘ*｛1-(x^2)/3｝＋ｘ^5*｛1/5－(1/7)*ｘ^2｝＋ｘ^9*｛1/9－(1/11)*x^2｝・・・
＝Σ｛ｘ^(4n-3)｝*｛1/(4n-3)－x^2／(4n-1)｝　（ｎは１から∞まで)と書くことが出来ます。
・・・(1)
また、ｘだけ別項として考えると、ｘ－x^3／3＋ｘ^5／5－ｘ^7／ｘ・・・・・
＝ｘ－ｘ^3*｛1/3－(1/5)*ｘ^2｝－ｘ^7*｛1/7－(1/9)*ｘ^2｝・・・
＝ｘ－Σ｛ｘ^(4n-1)｝*｛1/(4n-1)－x^2／(4n+1)｝（ｎは１から∞まで)と書くことが出来ます・・・(2)
今、ｎ→∞で計算するのではなく、近似値を求めるために有限でうち切るとすると、
(1)　＜　arctanx　＜(2)　となります。

ここで、ｘ＝１／√3　のときｙ＝arctan(x)はπ／6 　であることを利用すると（ｘ＝１の時、ｙ＝arctan(x)はπ／4、すなわちグレゴリー級数となるのですが、収束が遅いためｘ＝√3の時の関係を利用します。)
(1)（ｘ＝1/√3)　＜π／6　＜(2) （ｘ＝1/√3)　となります。
(1)と(2)にｘ＝1/√3を代入して第３項まで計算すると、0.523551＜π/6＜0.523767
となるので、3.141309＜π＜3.142605となります（反則ですが、EXCELに計算式を入れて計算しました)。
ここから、はさみうちの定理よりπは3.141より大きく3.1426未満であることがわかります。πは無理数なので小数点表記で厳密な表現は不可能です。
計算の精度を上げたい時は第３項まで計算したところの項数を上げれば計算制度が良くなります。
かなり論理的に粗いような気もしますが、どうでしょうか。

回答者：みっふぃ (質問から15時間後)
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