他の方も書いておられましたが、私ならば「辞めます」。
店内の清掃は、業務中のアルバイトの仕事の一つでもあると思いますが、
コンビニの店内に「犬」が立ち入ること自体が問題です。
大手のコンビに傘下ならば、本部にきちんと報告しましょう。
改善されないならあなたは辞めるべきだと思います。
(もちろん、清掃をするのが嫌という前提で)
また、鎖から外れて犬がうろついてしまうならば、老齢の犬とは
いえ、危害も考えられますから警察に通報しても良いと思います。
私も個人的に犬を飼っていますが、
人がいる場所で離してはダメですね。
もちろん、離れてしまっても、ダメです。