kを定数とし、cを正の定数とする。方程式f(x)=x^3-kx^2+kcx+c^2(1)(1)がx=-1を解に持つとする...|質問・相談が会員登録不要のQ&AサイトSooda!(ソーダ)

まず、f(x)=x^3-kx^2+kcx+c^2　・・・(1)は方程式ではありません。したがって、解をもたないはずですが、f(x)=０の落丁があったとして話を進めます。

ｘ＝－１を解にもつとすると、f(-1)＝－１－ｋ－kc＋c^2＝０
左辺をｋについて因数分解すると、
左辺＝－（ｃ＋１）ｋ＋c^2－１＝－（ｃ＋１）ｋ＋（ｃ－１）（ｃ＋１）
ｃ＞０（０ではない）だから、　＝（ｃ＋１）（ｃ－１－ｋ）　＝０
やはりｃ＞０より両辺を（ｃ＋１）で割ることが出来て、ｋ＝ｃ－１
ｋ＝ｃ－１を(1)に代入して計算すると、ｘ＝－１が成立するから、（ｘ－１）を因数に持つので、f(x)=x^3-kx^2+kcx+c^2＝x^3－(c-1)ｘ^2＋ｃ（ｃ－１）ｘ＋c^2
＝(x-1)（ｘ^2－ｃｘ＋c^2)＝0

ここまでは問題文の整理。

さて、x=-1以外の解はｘ^2－ｃｘ＋c^2＝０　・・・(2)　を満たす。
この方程式の判別式をDとすると、ｘが虚数解を持つためには
D=c^2－4c^2＝－３c^2＜0
ｃ＞０においてｃは任意の定数で、この条件を満たす。

したがって、このときのｘは方程式を解くと、（－（－ｃ）±√D）／２＝（ｃ±√(-3c^2)）/2
再びｃ＞０に注意して
＝(ｃ±ｃ√3ｉ)/2＝ｃ（１±√3ｉ)/2
となります。
具体的なｃの値を求めることは私の手には負えません。あしからず。

回答者：みっふぃ (質問から36分後)
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