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中三数学の問題です。以下の問題の証明をお願いします。

１番　連続する３つの整数では、最大の整数と最小の整数の積に１加えた数は中央の整数の平方に等しい。

２番　５で割ったときのあまりが２と３になる２つの整数の積を５でわると余りは１になる。

３番　連続する３つの整数では、それぞれの整数の平方の和から５をひいた数は、最大の整数と最小の整数の３倍に等しい

４番　ｎが自然数のとき、ｎ３乗＋３ｎ２乗＋２ｎは６の倍数である。

５番連続する２つの奇数の積に１加えると、偶数の平方になる。

回答お待ちしてます　全部でなくても構いませんので

===補足===
できれば全部して頂きたいが…
回答だけでも感謝ですので、余裕のある方はお願いしたい。

  • 質問者：匿名
  • 質問日時：2010-06-14 16:46:34
  • 0

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回答

既に他の方が回答されている内容と被るのですが、

１．　中央の整数をｎとすると　(n+1)(n-1)+1－ｎ^2＝0　（証明終わり)
２．　２つの整数をｐ、ｑとするとｐ≡2、ｑ≡3 (mod5)　したがって、ｐ×ｑ≡2×3≡6≡1 (mod5)（証明終わり）
３．　中央の整数をｎとすると　(n-1)^2＋n^2＋(n+1)^2-5－｛3(n+1)(n-1)｝＝0（証明終わり)
４．　n^3＋3n^2＋2ｎ＝ｎ(n+1)(n+2)　連続する３つの数の積だから、
ｎ(n+1)(n+2)≡0 (mod2)(mod3)　したがって、左辺は６の倍数　（証明終わり)
５．　連続する２つの奇数の積は(2n+3)(2n+1)と表現できるから、
(2n+3)(2n+1)+1＝(2ｎ+2)^2　（証明終わり)

かなり説明を省略していますが、あしからず。

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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

回答

ここは勉強の答えを教えるところではありませんよ。

  • 回答者：匿名 (質問から6時間後)
  • 1
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回答ありがとうございました。
お礼コメント

何をいっているのやら

回答

全部終わったな・・・


方程式の文章問題もしくは証明問題


まず紙のど真ん中に「＝」を書きましょう

上の問題すべて○○は××と書いてありますので
＝の左に○○を表す式、＝の右に××を表す式を作りましょう


わからない数字をｘとして、他の数字をどうあらわすか

で式が作れます

「特に連続する３つの整数」は頻繁に出ます
（連続する偶数とかの場合もあります）



もう見ないかもな

  • 回答者：匿名 (質問から2時間後)
  • 0
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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

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2番

5でわったとき2余る整数を(5m+2)、5でわったとき3余る整数を(5n+3)とする。
これらの積は
(5m+2)(5n+3)=25mn+15m+10n+6
これを5でくくり出すと
5(5mn+3m+2n+1)+1
5(5mn+3m+2n+1)は5の倍数（5でわり切れる数）なので、
(5m+2)(5n+3)+1は5でわると1余る数である。

3番

連続する3つの整数を、n-1、n、n+1とする。
それぞれの整数の平方の和から５をひいた数は
(n-1)^2+n^2+(n+1)^2-5
=n^2-2n+1+n^2+n^2+2n+1-5
=3n^2-3
=3(n^2-1)
=3(n-1)(n+1)
よって、最大の整数と最小の整数の積の３倍に等しい 。

※質問文では「最大の整数と最小の整数の３倍に等しい 」とありますが、
おそらく『最大の整数と最小の整数の積の３倍に等しい 』だと思います。

4番

n^3+3n^2+2n
=n(n^2+3n+2)
=n(n+1)(n+2)
これは連続する3つの数の積の形である。
連続する3つの数には必ず偶数が1つ以上あり、3の倍数が1つ存在するため、
これら3つの数の積は必ず6の倍数となる。

5番

連続する2つの奇数を(2n-1)、(2n+1)とする。
これらの積に１加えると
(2n-1)(2n+1)+1
=4n^2-1+1
=4n^2
=(2n)^2
よって、偶数の平方になる。

  • 回答者：匿名希望 (質問から58分後)
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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。
お礼コメント

ほぼ全部やっていただきありがとうございます

回答

一番はすでに回答されているので、二番を。


５で割った時のあまりが２と３になるふたつの整数をそれぞれｘ，ｙとすると、
ｘ＝５ａ＋２　ｙ＝５ｂ＋３
ｘｙ＝２５ａｂ＋６
２５は５の倍数で、abは整数なので、２５abも５の倍数。６は５＋１と考えられるので、
２５ab＋６＝５の倍数＋１になる。
したがって、５で割ったときのあまりが２と３になる２つの整数の積を５でわると余りは１になると証明された。




間違ってたらごめんなさい。３～５はわかりませんでした。

  • 回答者：匿名 (質問から55分後)
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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。
お礼コメント

ありがとうございます

回答

じゃあ１番。

連続する３つの整数を、(n-1)、n、(n+1)とする。
最大の整数と最小の整数の積は、(n-1)(n+1)と表すことができ、これをを計算するとn2-1となる。
よって、これに1を加えた数は、中央の整数nの平方と等しい。

  • 回答者：konn (質問から14分後)
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とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。
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ありがとうございます

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