【在職中の健康保険を任意で継続する場合について】
現在は、「協会けんぽ」の窓口に行って手続きすることになっています。
１２月末日退職ならば、１月２０日までに手続きをする必要があります。
退職者本人が手続きをすることもありますし、
会社のほうで代行する場合もあります。
協会けんぽの窓口は、
http://www.kyoukaikenpo.or.jp/13.html
に載っていますのでお住まいの都道府県名をクリックして確認してください。
また、任意で継続する場合の申請書の書き方や、
扶養家族がいる場合の諸注意などについては、
http://www.kyoukaikenpo.or.jp/9,0,48.html
に記載されていますのでそちらも参考にされるとよいでしょう。
それと、既に任意継続を選ぶことが決まっているようですが念のため以下のとくネタも参考にしてください。
http://sooda.jp/note/7562
http://sooda.jp/note/7563
なお、協会けんぽ以外の健康保険（たとえば健保組合）に入っている場合には、
手続きはそちらの健保組合で行うことになります。
【任意継続の場合、原則保険料は在職時の２倍】
＞保険料が２倍になること
確かにおっしゃるように、原則として健康保険料は在職時の２倍になります。
それは会社が負担していた分も本人が負担することになるためです。
ですが、必ずしも２倍になるとは限りません。
加入されている健康保険が協会けんぽ、
退職時点での標準報酬月額（保険料のもとになっている平均月収）が、
２８万円を超えている方は、２８万円になるため、２倍より保険料は安くなります。
２８万円未満の方はおおむね２倍と考えてよいでしょう。
退職される社員さん（６７歳）の報酬がどの程度なのかによって変わってきますが、
手続きされる時にそのあたりについては協会けんぽのほうで説明があるはずです。
なお、加入されている健康保険が健保組合の場合には、その健保組合の規約によりますので、月収を２８万円として保険料を計算する制度がないかもしれません。
【退職後の傷病手当金について】
任意継続被保険者になった場合・・・
ご指摘のとおり、退職後に病気になり働けない状態になったとしても、その病気では、傷病手当金は受け取れなくなりました。
ただし、在職中の病気がもとで、在職中に既に傷病手当金を受け取っているのであれば、残った期間の傷病手当金を受け取ることは可能です。
詳細は
http://www.kyoukaikenpo.or.jp/8,279,25.html
に書かれています。
例えば在職中にガンで傷病手当金を３カ月受け取っていたら最大で退職後も１年３カ月は受け取れる感じになります。
（ただし最初に受け取り始めた時から１年６カ月経過した後は受け取れません。）
【任意継続被保険者に年齢制限はあるか】
年齢制限はあります。
現行の健康保険制度の場合、７５歳になると、後期高齢者医療制度に加入することになっているので、
任意継続被保険者でいられる期間は原則２年間となっていますが、
例えば７４歳の人が任意継続被保険者になったとしても、被保険者でいられるのは７５歳になる直前までです。
ただし、現在６７歳ということであれば、年齢制限にはひっかかりません。
なお、退職後は給与収入がなくなり、収入は年金のみになるでしょうから
現在より収入が減るはずです。
２年目以降は任意継続にするか、国保にするか検討されたほうがよいでしょうね。
（国保の保険料は前年度の収入により左右されるので）
ただ、扶養家族がいる場合は、任意継続のほうがよい場合もあります。
【退職後の厚生年金保険料は不要か】
退職されるので厚生年金保険料は当然不要です。
退職の時点で６７歳なのであれば、国民年金に加入する必要もないと思います。
ただし、国民年金と厚生年金の加入期間等を合わせて２５年に満たないなど、
老齢年金等を受け取る資格がない場合には、
任意で国民年金に加入する制度があることを伝えたほうがよいでしょう。
この場合は、市区町村役所の窓口で相談することになると思います。
【最後に】
国保に変更すると治療費が２倍になるというのは初耳です。
原則国保でも任意継続でも、７０歳未満の人の場合、
窓口での負担割合はいずれも３割で
治療費が国保のほうが高いというのは考えられません。
（保険料が国保のほうが高いというのならわかりますが・・・
任意の場合、扶養家族がいても保険料は上がらないですが、
国保の場合、扶養家族というのがないため人数分保険料が取られる計算になるので）
以上わかることのみを書きましたが、参考になれば幸いです。
わからない部分があれば１回だけなら補足可能なのでコメント欄に書いてくださいね。
（２度目以降の補足は、とくネタのほうで受け付けますのであちらにコメントを残してください）
===補足===
評価＆補足での質問有難うございます。
わからない部分がありますので、わかる範囲で補足させていただきます。
（１）まず、退職後の保険料の支払い義務は本人にあります。
ですので、退職後の保険料を（本人から保険料を預かって）会社が代行して支払ったという話を、私は聞いたことがありません。
口座振替にしない場合、又は口座振替開始前の場合、
納付書で保険料を納めることになるのですが、
郵便局或いはコンビニで支払うことができますし、
現在通院されている病院の近くか、或いは病院に行く途中にコンビニや郵便局があるのではないかと思いますので
ご自身で保険料を納めることは可能なのではないでしょうか？
ただ、退職される従業員の方に身寄りがなく、
しかも通院もやっとの状態で通っていて、しかもコンビニも郵便局も近所にはない、
通院も自家用車は運転できなくてタクシーで通っていて・・・
などやむを得ない事情があれば、事情は変わってくるかもしれませんが
こればっかりは担当の協会健保に問い合わせてみるしかないと思います。
（回答になっていなくてスミマセン）
（２）次に気になった点が一つあります。
２５日〆で翌月５日支払いだと、もしかして退職は１２月３１日ではなくて、
１２月２５日ではないでしょうか？
（賃金の締切日の関係でそうしたほうが区切りが良さそうなので）
その場合、
任意継続被保険者になる手続きは、退職の翌日から２０日以内になっているため、
１２月３１日退職→手続きは１月２０日まで
１２月２５日退職→手続きは１月１４日まで
となります。
あと、保険料については、
（保険料は資格を喪失した月の前月分まで取られることになっているので）
１２月３１日退職→資格喪失は１月１日→資格喪失月は１月→保険料は１２月分まで
１２月２５日退職→資格喪失は１２月２６日→資格喪失月は１２月→保険料は１１月分まで
労使折半で支払う必要があります。
保険料の支払いは、当月分を翌月末日までとなっているため、
例えば通常は１２月分の保険料は１月５日に支払うお給料から差し引く計算になります。
１１月分は既に１２月５日に支払うお給料から差し引いているはずです。
１２月３１日退職か、１２月２５日退職かによって、
最後に支給するお給料から保険料を控除するかしないかが変わってきますので気を付けてくださいね。
なお、私の回答はあくまで参考程度のものです。
任意継続の保険料を会社が代行可能かについては、事業所所在地のある都道府県の協会健保に
保険料の控除関係については年金事務所などに問い合わせ上、
必ずお確かめくださいね。
※任意継続の保険料の額によっては身分証明書を見せないといけないこともあるので、その場合は代行は難しくなるかもしれません。
