そうですね、バトンに関しては代用品(ラップの芯、スリコギ等)で少し練習するのがいいと思います。
基本的には慣れの問題なので練習が一番だと思います。
それから、学校の先生がどのように指導されるか分かりませんが
バトンの受け渡しの基本としては「バトンを取りに行かない」というのが鉄則です。
受ける側が「取りに行く」のではなく渡す側が「渡しにいく」のです。
渡す側は相手の手がどこにあるのか見えているわけですので、少々変な所に手があっても修正は可能なんです。
受ける側が取りに行って、手を動かすと渡す側はなかなか狙いが定まらなくなります。
というのが理由です。
それから、早く走るコツですがこれはなかなか難しいです。
一番手っ取り早いのは「肘を引く」ことです。
「腕を振る」とよく言いますがこれは誤りで、正解は「肘を引く」のです。
手は双眼鏡の真似をするように軽く握り、腕を90度に曲げて前後にまっすぐ振るのですが
この時に前方に「振る」のではなく、後方に「引く」ようにして走ってください。
自然と体が前に出ると思います。
苦しい時ほど「引いて」下さい。
これくらいしかお答えできませんが参考になればと思います
頑張ってくださいね