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微分方程式dL/dt=kLを解くと、時間t後の濃度L(t)は、
L(t)=Lo=e-kt(-ktは上付）=Lo10-0.4343kt(-0.4343ktは上付）
ここで、log10e=0.4343が用いられています。
また、指数関数y=exp(x)を用いて表すと
L(t)=Loexp(-kt)
とあります。

途中の式とかはなくて、結果だけ示されています。まったく理解できません。
どなたかわかりやすく解説していただけないでしょうか？

  • 質問者：オレンジ
  • 質問日時：2009-06-09 10:45:57
  • 1

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回答

dL/dt=-kLの間違いでしょう。でないと、濃度がどんどん増加していきますよ。
この解は
dL/L = -kdt
と変形して積分することで、
∫dL/L = ∫-kdt
∫dL/L = ∫-kdt
log|L| = -kt +積分定数
積分定数をLoに含めてやれば、
L = Lo e^(-kt)
が解になります。
これを10を底とする対数に直したければ、
e=10^log10(e)
の関係（これは、真数→その対数→そのまた真数の対応をたどってもとの数にもどっただけ）をつかって
L = Lo e^(-kt)=Lo (10^log10(e) )^(-kt)
=Lo 10^(-0.4343 kt )

また、指数関数y=exp(x)は、e^xとまったく同じ意味です。
exp(x)=e^x
eの肩の式が複雑になって読みにくくなるときには、exp(x)の書き方が便利です。

===補足===
これで回答になってますか。

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回答

厳密には既に解説していただいた方法で解くのがよいかと思いますが、

dL／dt＝ｋLを変数分離するとdL／L＝ｋdt
したがって、∫(1/L)dL＝∫kdt　両辺を積分して　logL＝ｋｔ＋C　(底はe、Cは積分定数)
したがって、L(t)＝ｅ＾(kt＋C)　・・・自然対数eの(kt+C)乗

ここで、積分定数Cを適当にとってC'と表現すると、
L(t)＝exp＾(C'-kt)＝exp^C'×exp^(-kt)
e^C'＝Loと表現し直すと、L(t)＝Lo×exp^(-kt)・・・(1)

一方、log(10)e（自然対数の底を常用対数でとった時）=0.4343
だから、exp＝10＾0.4343・・・(2)
(2)を(1)に代入すると、L(t)＝Lo×10^(-0.4343kt)　・・・(答)

論理的に粗いのでこういう解き方になるかも知れませんが、-ktの「-」は一般的に解くとこの形になるからついているのだろうか？と言うことを少し思いました。

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回答

「時間t後の濃度L(t）」とかは分からんが、dL/dt = kL は、

ｄL/dt －ｋL ＝ ０

と置くと、１階線形微分方程式である。ここで、ｋは多分定数なのだろう。それで、一般に、１階線形微分方程式

dy/dx + P(x)y ＝ Q(x)

の解は、

y = ｅｘｐ（-∫P(x)dx） { ∫Q(x) ｅｘｐ（∫P(x)dx） dx + C }

となる。これに ｄL/dt －ｋL ＝ ０ を当てはめると（ｔ は、ｘ と見なす）、P(ｔ) ＝ ｋ、Q(ｔ）＝０ なので、

∫P(ｔ)dx ＝ ｋｔ

∫Q(ｔ) e ∫P(ｔ)dｔ dｔ ＝ ０

よって、

L(t) ＝ C・ｅｘｐ（-kt)

となる。元も問題を見てないので、確証は無いが、Loを L(0) と言う、この方程式の境界条件と仮定すると、C ＝ Lo となるので、

L(t) ＝ Lo・exp(-kt)

となる。

===補足===
確かに dL/dt = kL ではなく、dL/dt = -kL でないと L(t) ＝ Lo・exp(-kt) にならないね！

P(ｔ) ＝ ｋ

なるには、dL/dt = -kL で無ければならない。結果が、合っていた様ななので、途中の計算ミスに気が付きませんでした。

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