微分方程式(dx(t)/dt)+3x(t)=6u(t)-6u(t-5)　　（ただし、x(0)=0とする）の答えはどうなる...|質問・相談が会員登録不要のQ&AサイトSooda!(ソーダ)

解のｘ（ｔ）が連続関数ならば、

ｘ（ｔ） = （u(t) - u(t-5))(2 - 2 exp(-3t))

だと思う。問題の微分方程式は、

ｔ ≺ ０、５ ≤ ｔの時、

dx(t)/dt + 3x(t) = ０・・・ ①

０ ≤ ｔ ≺ ５の時

dx(t)/dt + 3x(t) = ６・・・ ②

となり、どちらも１階線形微分方程式である。先に②の解を求めると、

x(t) = ２ + C・exp(-3t)

となる。x(0) = 0 と言う初期条件が有るので、C = -2 となり、②の解は、

x(t) = ２ - ２・exp(-3t) ・・・③

となる。さて、①の解であるが、

x(t) = C´・exp(-3t)

で、ｘ（ｔ）が連続関数とすれば、ｔ → ０の時、ｘ（ｔ）→０となるから、C´= ０である。よって、①の解は、

x(t) = ０・・・④

である。③は、ｔ ≺ ０、５ ≤ ｔの時の解で、④は、ｔ ≺ ０、５ ≤ ｔの時の解である。よって、ｔ ≺ ０、５ ≤ ｔの時に０、ｔ ≺ ０、５ ≤ ｔの時に１となる関数 u(t) - u(t-5) を、③ の右辺に掛けた形で、

x(t) = （u(t) - u(t-5)）（２ - ２・exp(-3t)）

と表わす事が出来る。

===補足===
計算ミスしてました。

t = 5 連続性を考慮していませんでした。 t → 5 では③より、

x(ｔ) → 2 - 2・exp(-3・5)

一方、①の５ ≤ ｔの解を、 x(t) = C´´・exp(-3t) とすれば、

x(５) = C´´・exp(-3・５)

であるから、C´´= ２・exp(3・5) - 2 となるので、①の５ ≤ ｔの解は

x(t) = （２・exp(3・5) - 2）・exp(-3t) = 2・exp(-3(t-5)) - 2・exp(-3t)

となる。したがって、５ ≤ ｔのこの解を加えて、

x(t) = （u(t) - u(t-5)）（２ - ２・exp(-3t)） + u(t-5)(2・exp(-3(t-5)) - 2・exp(-3t))
　　　　　　
　　 = 2・u(t) - 2・u(t-5) - 2・exp(-3t)・u(t) + 2・exp(-3(t-5))・u(t-5)

となります。つまり、あなたの答えは、間違っていないと思います。

回答者：シティー (質問から5時間後)
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この回答の満足度

とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

すごくわかりやすい説明ありがとうございます。
自分の答えは間違ってないんですね。
回答していただいてありがとうございました。
補足までしていただいてすごくうれしいです。

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