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ベクトルの問題の解説をお願いしたいです

点Oを中心とする円に内接する三角形ABCの三辺AB,BC、CAをそれぞれ
2:3に内分する点をP.Q、Rとする。
三角形PQRの外心が点Oと一致するとき三角形ABCはどのような
三角形か?

答えは正三角形です

おねがいします!!

  • 質問者:ANAN
  • 質問日時:2009-12-13 23:55:57
  • 0

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これは、問題集に答えだけが出ていて、理由が載っていなかったと言うことなのかな?

点Oを中心とする円に△ABC が内接しているのだから、この円は△ABC の外接円と言う事になるので、点Oを起点するベクトル OA↑、OB↑、OC↑を考えると、各絶対値は、

|OA|=|OB|=|OC| ・・・①

となる。点P、Q、R は、辺 AB、BC、CA のそれぞれを2:3に内分する点で有るから、

OP↑=(3・OA↑+2・OB↑)/5
OQ↑=(3・OB↑+2・OC↑)/5
OR↑=(3・OC↑+2・OA↑)/5

となる。△PQR の外心が点Oと一致すれば、△PQR の外接円の中心は点Oと一致するので、ベクトル OP↑、OQ↑、OR↑ の各絶対値は、

|OP|=|OQ|=|OR| ・・・②

となる。それで、

|OP|^2=OP↑・OP↑=(9・OA↑・OA↑+4・OB↑・OB↑+12・OA↑・OB↑)/25
|OQ|^2=OQ↑・OQ↑=(9・OB↑・OB↑+4・OC↑・OC↑+12・OB↑・OC↑)/25
|OR|^2=OR↑・OR↑=(9・OC↑・OC↑+4・OA↑・OA↑+12・OC↑・OA↑)/25

と、①より

OA↑・OA↑=OB↑・OB↑=OC↑・OC↑

②より

|OP|^2=|OQ|^2=|OR|^2

なので、

OA↑・OB↑=OB↑・OC↑=OC↑・OA↑

となる。さらに、∠AOB=α、∠BOC=β、∠COA=γ とすると、これは内積の公式より、

|OA|・|OB| cos α=|OB|・|OC| cos β=|OC|・|OA| cos γ

となる。再び ① より

cos α=cos β=cos γ

となるので、

∠AOB=∠BOC=∠COA

となる。この△ABCが正三角形ある事は、明らかだと思う。残りの証明は適当に補足されたい。

この回答の満足度
  
とても参考になり、非常に満足しました。回答ありがとうございました。

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