質問

前提が誤っています。
数学では、0.999…=1なのです。

証明は簡単です。
1. 1÷9×9=1、ですね。これは自明です。1つの物を9等分し、それを9つ集めたら、元の1に戻ります。
2. では、まず1÷9を計算しましょう。これは0.111…となります。続いて、0.111…×9を計算すると、0.999…となります。
3. 結果として、1÷9×9=1、1÷9×9=0.999… の2式が、いずれも正しいということになりました。
4. ゆえに、1=0.999… になります。

単純に0.999…を10倍するより、わかりやすい説明かと思います。

なお、無限の概念を出してくると、場合によってはややこしいことになります。
完全に余談ですが、無限の世界には「数えられる無限(有理数の個数を示す無限)」と「数えられない無限(実数の個数を示す無限)」という、意味の違う2つの無限があります。これは、大学の理学部数学科レベルの解析学や代数学で学ぶもので、一般の方はご存じない世界になります(ご存じなくても、日常生活にはまったく差し支えませんのでご心配なく)。
私は「スカスカの無限」と「ぎっちり詰まった無限」と表現しますね。数の世界は、ことほど左様に深いものです。

• 回答者：マンボウ (質問から52分後)
• 2

結論を先に述べます。
「0.9999・・・・・・・・」＝１です。ただし、・・・・・は9がエンドレスに続きます。
証明は、今までの回答者が分かりやすいものを述べておられますので、
ここでは、高校の数学無限等比数列の和（無限級数）で説明します。

「0.9999・・・・・・・・」は、初項a=0.9，公比r=0.1の無限等比数列の和（無限級数）Sです。

Sは、a(1-ｒのn乗)/(1-r) でn→∞にしたときの、極限値（収束値）です。
r=0.1ですので、n→∞のとき、ｒのn乗→0 ですので、結局、

S=a/(1-r)=0.9/(1-0.1)=0.9/0.9=1

以上で、証明（説明）は終わりです。

※　/は割る(÷)の意味です。

• 回答者：ポチポチ (質問から2時間後)
• 0

10x=9.9999・・・としているところがそもそも間違っています。

わかりやすいところでx=0.99としてみましょう。
この場合、10x＝9.9ですね。

10x-x=9.9-0.99=8.91となります。

一方で9xを計算すると9×0.99=8.91となり
xはやはり0.99でなければ計算が合いません。
ここでｘの小数点以下の９を増やしていってみてみましょう。
最後の桁の値はどうなりますか？

ｘの小数点以下の桁数をいくら増やしていっても
9xの値は8.9999・・・・・・・・・・・・・・・・・・999991のように
最後の桁には1が来るのです。

• 回答者：秋山人 (質問から55分後)
• 0

> この「0.9999…」を仮に「x」とします。
>　x = 0.9999…

ここで x = 0.99999…　と定義していますので x = 0.99999…は
この証明内では変えてはいけません。

> さらに10xからxを引き算します。
>　10x - x = 9.9999… - 0.9999…

ここが間違っています。右辺と左辺で減算している値が違います。
10x - x = 9.9999… - x
とするのが正しいです。

• 回答者：匿名希望 (質問から40分後)
• 0

9.9999… - 0.9999… ≠9

で、正解なんですが、その理由が書かれてないようですね。
解りますか？
小数点以下の桁数を揃えなければならないという法則が無いからです。

それに、表記の問題でもあります。
0.33333… は、1/3 ですかね？

それから、0.9999…が 1 になるかどうかは、考え方次第です。
「極限（lim）」を学べば、理解出来るでしょう。

書き忘れてました。一番肝心なことを。本当の間違いの箇所を。
その問題では、最初に「x = 0.9999…」としてますが、桁数不定の少数を記号に置き換えること自体が、出来ません。

• 回答者：ムーチョ (質問から36分後)
• 0

定義をしっかりしないと、勘違いします。

9ｘ = 9
と定義することは、１と0.９９９・・・が同じと定義することと同義でしょう。

根つめて考えてみると、0.999・・・の9がでてくる回数は無限ですが、これをＮ個だと定義すると、
それを十倍した９．９９９・・・の９のでてくる回数もＮ個と考えられます。
９ｘ－ｘ　＝　9.999・・・ - 0.999・・・　＝　9-10^(-N)となります。

９ｘ－ｘ＝９となりません。

無限に9が続くという定義は、極限をとることなので、
上の式の解は 9-10^(-N) のＮが無限回に近づくとすると、

９ｘ－ｘ＝９

となります。

０．９９９９の９の回数が無限回続くとすると、１に限りなくちかづくという意味と同義です。

０．９９９９・・・　＝１　ではなく、

０．９９９９・・・　→　１　（９が無限回続くと）

ということです。

• 回答者：じんおか (質問から33分後)
• 0

0.99999･･･は1と等しいからです。
0.9999･･･は無限小数といってちょっと常識とは違う考えです。
ちなみに、無限というものを考えた場合、1･2･3･4･5･･･と続く整数の個数と1･3･5･7･9････と続く奇数の個数は同じなんです。ちょっと分かりにくいですが、そうなんです。

ちなみに、
1/3(3分の1)=0.3333･･･ですね。
1/3×3=1です。
すなわち、
0.3333･･･×3=0.999･･･=1/3×3=1
なんです。

そもそも数学は人間が作ったものですから、都合のいいように定義されるところがあります。
例えば、5(どんな数字でも)の0乗は1です。

• 回答者：ぶんた (質問から31分後)
• 0

９ｘ＝９　　ではなく
９ｘ＝９．0000000000000000と永遠に続いていった先に１が！
引き算なんてできない！　　と思います

• 回答者：まっさん (質問から29分後)
• 0

何でだろうと一瞬思いましたが、計算が間違っていることに気づきました。
　10x - x = 9.9999… - 0.9999…
これを
　9x = 9
としているのが間違いです。9.9999… - 0.9999… ≠9です。
　9x = 9 * 0.9999…
なのです。
　9x = 9 * 1
としてしまったから、x = 1となってしまったのです。

追記
------------------------------------------------------
　10x = 9.9999…0、x = 0.9999…9
（無限小数なのですが、表記上こうします）なので
　9.9999…0 - 0.9999…9 = 8.9999…1
となります。従って
　9.9999… - 0.9999… ≠9です。

すみませんが、これ以上の説明は出来ません。

• 回答者：匿名希望 (質問から20分後)
• 0

ｘを０.99にすると、その矛盾点がわかります。

• 回答者：お助けマン (質問から17分後)
• 0

なぜでしょう？
計算上ではそうですが
でもまともに考えたら１ではないですよね～
やはり錯覚なのかな？

• 回答者：Sooda! ちゃん (質問から13分後)
• 0

10ｘがいつの間にか９ｘにすり替わっていませんか。
錯覚です。

• 回答者：Sooda! くん (質問から10分後)
• 0

試しに電卓の最大文字ケタでやってみました。
x=1　ですねぇ･･･

気持ち悪いね･･･なぜなんでしょう。とりあえず拍手！

• 回答者：Sooda! ちゃん (質問から8分後)
• 0

なぜでしょう？

眠れなくなりました。

誰か私にも教えてください。

• 回答者：輝け！日本レコード大賞 (質問から5分後)
• 0