パラソルは、英語では parasol です。
もとはイタリア語から来ていて、parare(防護する)とsole(太陽)が
組み合わさったものです。
要するに、主にご婦人たちが日よけ用に使う傘ということです。
もう少し詳しく言うと、次のような流れです。
parasole(イタリア語)→parasol(フランス語)→parasol(英語)
アンブレラは、英語【umbrella】(傘)からの外来語で、
特に洋傘を指して用いる場合が多いです。
【umbrella】は「陰」を意味する【umbra】に指小辞がついた語で、
「日よけ」や「日陰」を意味するイタリア語が語源とされます。
日本でもそうだったとされますが、ヨーロッパにおいても
天蓋から傘は発達したため、「陰」が語源となっています。